Euclide

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques.

Biographie :

Peu d'informations sont connues à propos de la vie d'Euclide^[1]. Peut-être disciple d'Aristote pendant trente ans, il part en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée I^er. Il œuvre au Mouseîon d'Alexandrie et à l'école de mathématiques. Entouré de ses disciples, il mène de nombreux travaux de recherche tout en compilant les études d'autres mathématiciens, dont Hippocrate de Chios. Ces travaux mènent à la rédaction des Éléments qui fondent la géométrie.

Les Elements de géométrie :

Les Éléments sont une compilation du savoir géométrique et restèrent le noyau de l'enseignement mathématique pendant près de 2000 ans. Il se peut qu'aucun des résultats contenus dans les Éléments ne soit d'Euclide, mais l'organisation de la matière et son exposé lui sont dus.

Les Éléments sont divisés en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration de leur existence. Les Éléments sont remarquables par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés.

Plus d'un millier d'éditions manuscrites des Éléments ont été publiées avant la première version imprimée en 1482. La rigueur n'y est pas toujours à la hauteur des canons actuels, mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni conique, ni résolution par neusis^[] ou ajustement). Les dernières recherches entreprises en histoire des mathématiques tendent à prouver qu'Euclide n'est pas le seul auteur des Éléments. Il était vraisemblablement entouré d'un collège de disciples ayant tous participé à leur élaboration.

La géométrie telle qu'elle est définie par Euclide dans ce texte fut considérée pendant des siècles comme la géométrie et il fut difficile de lui ôter cette suprématie ; Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi les brouillons de ce dernier qu'il avait lui aussi imaginé des géométries non euclidiennes.

Dans ses livres, Euclide utilise sans la démontrer une propriété des droites, le « postulat d'Euclide », que l'on exprime de nos jours en affirmant que « par un point pris hors d'une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite ».

Il y a trois sortes de géométries :

• celle qui admet le postulat d'Euclide et que l'on appelle géométrie plane ou géométrie géométrie euclidienne,
• celle qui admet le postulat qui dit que « par un point pris hors d'une droite il ne passe aucune parallèle à cette droite » et que l'on appelle géométrie sphérique ou géométrie riemannienne,
• celle qui admet le postulat qui dit que « par un point pris hors d'une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite » et que l'on appelle géométrie hyperbolique ou géométrie de Lobatchevski.

Bernhard Riemann a montré qu'un modèle de la géométrie sphérique est la géométrie de la sphère où les droites sont les méridiens ou grands cercles. Henri Poincaré a donné un modèle de la géométrie de Lobatchevski. Étant donné que ces trois géométries ont des modèles, il n'y aucune raison d'en privilégier l'une plutôt que l'autre. La théorie de la relativité d'Einstein a porté un coup fatal à la géométrie d'Euclide en montrant la courbure de l'espace. En effet lorsque l'espace se courbe, il abandonne son aspect euclidien.

Euclide s'est aussi intéressé à l'arithmétique dans le livre 7. En particulier, il effectue des soustractions successives répétées, prémonition de ce que l'on appelle aujourd'hui division euclidienne et un algorithme qui s'effectue précisément par soustractions successives, le plus petit du plus grand, pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres connu sous le nom d'algorithme d'Euclide.